|
Рефераты |
Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 годаЭкзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 годапримерный перечень экзаменационных вопросов АНАЛИТИчЕСКАя ГЕОМЕТРИя 1. ЛИНИя НА ПЛОСКОСТИ. ЕЕ УРАВНЕНИЕ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ТЕКУЩИЕ КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОчКИ ЛИНИИ. 2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на плоскости Oxy. 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами. 4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. 5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки. 6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или каноническое уравнение прямой. 7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору. 8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы направляющие векторы. 9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы нормальные векторы. 10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом. 11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера. 12. Вычисление определителей второго и третьего порядков. 13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности. 14. Общее уравнение плоскости. 15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке. 16. Уравнение плоскости в отрезках. 17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов. 19. Смешанное произведение трех векторов. 20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. 21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей. 22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве. 23. Каноническое уравнение прямой в пространстве. 24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки. 25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. 26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве. 27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве. 28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. 29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах). 30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости? 31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости. 32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве? 33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz? 34. Вырожденные поверхности второго порядка. 35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения. 36. Метод параллельных сечений. 37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы. 38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы. 39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма. 40. Какая поверхность называется поверхностью вращения? 41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма. 42. Эллиптический параболоид вращения и его форма. 43. Конус вращения и его вид. 44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy. 45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма. 46. Линейчатые поверхности второго порядка. 47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей. 48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (. 49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в начале координат. 50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы? 51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы? 52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка. 53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа? 54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0, используя формулы Крамера. 55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 5) и [pic]= (-4, -10) - их направляющие векторы. 56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если [pic] = (- 2, 3) и [pic] = (3, 4) - их нормальные векторы. 57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z + 1= 0. 58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5) на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3). 59. При каком значении a прямая [pic] будет лежать на плоскости 3x – y – z – 3 = 0? 60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора [pic] = (1, 6, 0) и вектора [pic](1, -1, -1). 61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3, 0, 2). 62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3, 0, 2). 63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат. 64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу. 65. Найти направляющий вектор прямой: [pic]. 66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0, 0, 0), М2(2, -1, 2), М3(0, -1, 1). 67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов [pic] = (1, 2, 3), [pic] = (-1, 2, 4), [pic] = (1, 1, 0). 68. Меридиан 4x2 - z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 70. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 71. Меридиан x2 + z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 72. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic]. 1 Найдите точки пересечения прямой:[pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 100. 73. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта поверхность? 74. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]? 75. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2? 76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5? 77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности. 78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности. 79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности. Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 1 1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов [pic], [pic], [pic] ( 2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов [pic] = (1, 1, 3), [pic] = (-1, 0, 4), [pic] = (2, 1, 0). 3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка. 4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость х = 1 пересекает гиперболоид [pic]+ у2 - z2 = 1? Напишите уравнение этого сечения. 5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: х2 + 3у2 - z2 + 6zу - 4 = 0. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 2 1. Как вычисляется определитель третьего порядка [pic]? Вычислить определитель третьего порядка [pic]. 6. Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и [pic]. 7. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка? 8. Меридиан [pic]= 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 9. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: 4х2 + 2у2- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 3 2. Напишите условие параллельности прямых [pic], [pic]. 10. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу. 11. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения. 12. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох. 13. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: х2 + 2у2 + 3z2 - 4хz - 3 = 0. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 4 3. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости или в пространстве? 14. Найти смешанное произведение трех векторов [pic](1, 2, 3), [pic](-1, 1, 0), [pic](0, 3, 1). 15. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения. 16. Какие плоскости симметрии имеет эллипсоид [pic]? 17. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка –x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz = 6. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 5 4. Напишите условие параллельности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2. 18. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2, 0,1). 19. Дайте определение прямолинейной образующей поверхности второго порядка. 20. Найдите точки пересечения прямой [pic] [pic]и эллипсоида х2 + у2 +[pic]. 21. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x2 – 4y2 + z2 + 6xz =10? Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 6 5. Что называется нормальным вектором прямой на плоскости? 22. Найти нормальный вектор [pic] плоскости, в которой лежат векторы [pic](2, 5, 0) и [pic](3, 0, 2). 23. Какой цилиндр является цилиндром второго порядка? 24. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Оz. 25. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы: 3х2+4у2+6z2-2xz и найдите ее характеристические числа. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 7 6. Какой угол могут образовывать нормальные векторы двух параллельных плоскостей? 26. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0, -1,1). 27. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра? 28. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]? 29. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 9х2 + 3у2 + 6z2 - 12ху. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 8 7. Как найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора? 30. Найти каноническое уравнение прямой [pic] 31. Напишите каноническое уравнение конуса вращения. 32. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Ох. 33. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: 14х2 + 12у2 + 10z2 - 8ху - 8zу - 17 = 0. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 9 8. Напишите уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору. 34. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора [pic] = (1, 0, 1) на вектор [pic](3, 1, -1). 35. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида вращения? 36. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2у = [pic]? 37. Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в начале координат, точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 10 9. Известно, что прямая в пространстве с направляющим вектором [pic] параллельна плоскости с нормальным вектором [pic]. Как расположены векторы [pic] и [pic] по отношению друг к другу? 38. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости х + у -3z + 17 = 0. 39. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида. 40. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу. 41. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 + z2 - 2ху = 10. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 11 10. Дайте определение векторного произведения векторов [pic] и [pic]. 42. Точка М1 (1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М2 (3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости. 43. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz? 44. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу. 45. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 12 11. Напишите условие параллельности прямых в пространстве. 46. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (1, 2) и [pic]= (-2, -4) - их направляющие векторы. 47. Что называется уравнением второй степени относительно х, у? 48. Доказать, что двухполостный гиперболоид х2 + у2 - z2 = -1 имеет одну общую точку с плоскостью [pic]х + 2z + 1 = 0, и найти ее координаты. 49. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 2x2 + y2 + z2 –8zy = 30. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 13 12. Что называется углом между прямой и плоскостью? 50. Найти направляющий вектор прямой [pic]. 51. Какая поверхность называется линейчатой? 52. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 53. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 6x2 + 5y2 + 6z2 – 8xz = 20. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 14 13. Что называют смешанным произведением трех векторов? 54. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости 3x – 4y – z – 4 = 0. 55. Напишите каноническое уравнение эллипсоида вращения. 56. Доказать, что эллиптический параболоид 2z = [pic] + у2 имеет одну общую точку с плоскостью 2х - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты. 57. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 2(z - 1) = [pic]? Как называется эта поверхность? Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 15 14. Что называется текущими координатами на линии F(х, у) = 0? 58. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0, -1). 59. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения. 60. Какие плоскости симметрии имеет конус [pic]? 61. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 - 2уz = 12. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 16 15. Какой угол могут образовывать направляющие векторы двух параллельных прямых в пространстве? 62. Найти каноническое уравнение прямой [pic] 63. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида? 64. Меридиан у2 + z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 65. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 6x2 + 2y2 – 6z2 – 2xy =10? Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 17 16. Что называется нормальным вектором плоскости? 66. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(1,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 0) и B(2, -1). 67. Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида. 68. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz. 69. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: -2х2 + 6у2 + 6z2 + 4zу - 1 = 0. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 18 17. Напишите условие параллельности двух плоскостей. 70. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 7) и [pic] = (4, 14) - их нормальные векторы. 71. Каким преобразованием можно привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: [pic]? 72. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох. 73. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: 2х2 + у2+3z2-4yz+1=0. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 19 18. Как найти направляющий вектор прямой в пространстве, заданной как пересечение двух плоскостей? 74. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 1) и B(2, 1). 75. Какого типа существуют цилиндры второго порядка? 76. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость z = [pic] пересекает эллипсоид х2 + у2 + [pic]? Напишите уравнение этого сечения. 77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 2x2 + 3y2 + 2z2 + 2xz = 9. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 20 19. Как вычисляется определитель второго порядка [pic]? Вычислить[pic]. 78. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат. 79. Какая поверхность называется цилиндрической (цилиндром)? 80. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость у = 1 пересекает гиперболоид х2 + [pic]? Напишите уравнение этого сечения. 81. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: -2х2 + 2у2 + 6z2 +12хz . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 21 20. Напишите условие перпендикулярности прямой и плоскости. 82. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости х + у - z +1 = 0. 83. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида? Какие величины называют полуосями эллипсоида? 84. Найдите точки пересечения прямой [pic] [pic] и параболоида 2z = х2 + у2 . 85. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: [pic]. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 22 21. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. 86. Найти координаты вектора, представляющие собой векторное произведение вектора [pic](1, 1, 3) на вектор [pic](0, 2, 1). 87. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостного гиперболоида? Какие величины называют полуосями однополостного гиперболоида? 88. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz. 89. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x2 + 2y2 + z2 + 8zy =3? Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 23 22. Напишите условие перпендикулярности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2. 90. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1 (1, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 2). 91. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей. 92. Докажите, что прямая [pic], лежит на конусе [pic]. 93. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта поверхность? Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 24 23. Какой угол образуют нормальные векторы двух перпендикулярных плоскостей? 94. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz. 95. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра. 96. Какие плоскости симметрии имеет однополостный гиперболоид [pic]? 97. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка –x2 + 4y2 - z2 + 4xz = 24. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 25 24. Что называется углом между прямыми на плоскости? 98. Найти нормальный вектор [pic] плоскости, в которой лежат векторы [pic](2, -1, 2)и [pic](0, 3, 1). 99. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (. 100. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу. 101. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2? Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 26 25. Напишите условие параллельности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами. 102. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1 (3, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 1). 103. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра? 2 Найдите точки пересечения прямой [pic] [pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 16. 104. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5? Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 27 26. Напишите условие параллельности прямой и плоскости. 105. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1 (3, 1, 0), М2 (1, 2, 0), М3 (0, 0, 0). 106. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида? 107. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2z =[pic]? 108. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы: х2-5у2-z2-10xz и найдите ее характеристические числа. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 28 27. Что называется уравнением линии на плоскости Оху? 109. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z + 1= 0. 110. Какие сечения называют коническими? 111. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic]. 112. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2 + y2 + z2 – 6yz = 4. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 29 28. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве. 113. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора [pic] = (2, -1, 1) на вектор [pic](1, 1, 0). 114. Какая поверхность называется поверхностью вращения? 115. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz. 116. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 30 29. Напишите условие перпендикулярности прямых в пространстве. 117. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника ABC, если вершины известны: A(0, 5); B(1, 3); C(3, 0). 118. Дайте определение конического сечения (коники). 119. Меридиан [pic] вращается вокруг оси Oz. Какая поверхность второго порядка получается? 120. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 31 30. Какой вектор называется векторным произведением вектора [pic] на вектор [pic]? 121. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если [pic] = (3, -1) и [pic] = (2, 6) - их нормальные векторы. 122. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра? 123. Докажите, что прямая [pic], лежит на цилиндрической поверхности [pic]. 124. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы: х2+4у2-2z2-2xz и найдите ее характеристические числа. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 32 31. Известно, что [pic] - направляющий вектор прямой в пространстве, [pic] - нормальный вектор плоскости. Какой угол могут образовывать векторы [pic] и [pic], если прямая и плоскость перпендикулярны? 125. Найти точку М0 (x0, y0, z0) пересечения плоскости 5x – 2y + z = 1 и прямой [pic] 126. Что называется текущими координатами на поверхности F(х, у, z) = 0? 127. Докажите, что прямая [pic] лежит на параболоиде [pic]. 128. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4ху + 2х2 + 5у2 + 7z2 = 70. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 33 32. Что называется уравнением первой степени относительно х, у, z? 129. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и точку М(1, 1,0). 130. Напишите каноническое уравнение эллипсоида. 3 Найдите точку пересечения прямой [pic] [pic]и гиперболоида х2 + у2 - z2 = 1. 131. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта поверхность? Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 34 33. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей. 132. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если [pic] = (3, 4) и [pic] = (-8, 6) - их направляющие векторы. 133. Дайте определение полуосей гиперболоида и эллипсоида. 134. Меридиан у2 - z2 = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается? 135. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 3x2 + 3y2 - z2 + 2xy = 12. Определить вид этой поверхности. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Билет № 35 34. Напишите условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами. 136. Найти точку пересечения прямых 2х + 3у - 5 = 0 и х - у = 0, используя формулы Крамера. 137. Напишите уравнение второй степени относительно х, у, z. 138. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость [pic] пересекает эллипсоид [pic]? Напишите уравнение этого сечения. 139. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 12х2 + 12z2 - 4у2 + 8ху. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- |
|
