Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы
Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической механики
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Исследование колебаний механической системы
с одной степенью свободы»
по разделу «Динамика»
Кафедра теоретической механики
Рецензия
На курсовую работу
Студента __Кисова Ивана____________
(фамилия, имя, отчество)
Группы _121142__________________
Вариант № ___ количество страниц
Курсовая работа по содержанию соотве-
тствует / не соответствует выданному
заданию и выполнена в полном / не в
полном объеме.
КР может быть допущена к защите с
добавлениембаллов рецензента
после успешной защиты.
Рецензент_______ /_____________
(Ф.И.О.)
«____»_____________200 г.
ТУЛА 200
Оглавление
Аннотация
Содержание задания
1. Применение основных теорем динамики механической системы
Постановка второй основной задачи динамики
Определение закона движения системы
Определение реакций внешних и внутренних связей
Построение алгоритма вычислений
Применение принципа Лагранжа-Даламбера и уравнений Лагранжа второго рода
Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа
Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Анализ результатов
Список использованной литературы
Аннотация
Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена упругой внешней связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления R=-µ*V и возмущающая гармоническая сила F(t) = F0 * sin(pt).
Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определён закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведён численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тnp,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей
Содержание задания
Исследовать движение механизма с одной степенью свободы. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно упругими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 -S. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t).
Исходные данные:
M1, М2,М3 - массы тел механической системы.
с - жесткость упругого элемента.
г2 - радиус блока 2.
R3, Гз -радиусы ступеней катка 3.
i2 - радиус инерции блока 3.
µ - коэффициент сопротивления.
Fo -- амплитуда возмущающей силыm1= 3mm2= mm3= m m4= 2m
r2=r R2=3rr3=rr4=2r
i2=2r Xo=6 см Xo= 0 см/c
m= 1кг r= 0.1 м p = 3.14 F 0 = 50 Н F(t)= F 0 sin(pt) c= 4000 Н/м м=100Н*с/м
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:
dT
dt= ?Nek + ?Nik (1-1)
где Т- кинетическая энергия системы,
?Nek - сумма мощностей внешних сил,
?Nik -сумма мощностей внутренних сил.
Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:
T= T1+T2+T3.(1.2)
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
T1= 1/2 m1*х21(1.3)
где Vl - скорость груза 1.
Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия
T2=1/2*m2* х22+1/2*Jc2 щ 22(1.4)
где
Jn2 = m2*i22: - момент инерции относительно центральной оси блока;
щ2- угловая скорость блока.
Блок 3 совершает вращательное движение,
T3=1/2*Jc3 щ 23 где jc3=1/2 m3*r23 (1.5)
Каток 4 совершает плоскопараллельное движение
T =1/2*m4 *vc42 +1/2*Jc4 * щ 42 где Jc4 = Ѕ*m4 *r4 2
Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) с учетом (1.7), и вынося 1/2 и V2 за скобки, получаем:T= 1/2(m +m + Jc2 т пр /R2 2 + Jc3 * (R2 - r 2 ) 2 / R2 * r 2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + Jc4(R2 - r 2 ) 2 /4r22 R2 2 )* х2
T=1/2m трv3 2(1-8)
т пр =m +m2 +m3 1/ R2 2 + 1/2m3 (R2 - r 2 ) 2 / R2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22
т пр=8, 21кг(1-9)
Найдем производную от кинетической энергии по времени:
dT/dt= т пр - S*S(1.10)
вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:
N = FV = Fvcos(F, v);(1-11)
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
?N'=0(1.12)
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, в том числе сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы N4, ,Y3,X3,P3,Fвд. Сумма мощностей внешних сил:
N=F*V+pV-RV+p2V2-Fупр*V4
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
Подставим выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1-19) в (1-1) полуучаем дифференциальное уравнение движения системы ;
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.26). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
F = F0-Sm{pt),(2.1)
Где Fo - амплитуда возмущающей силы,
р - циклическая частота возмущения.
Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.26) складывается из общего решения однородного уравнения S и частного решения неоднородного: S=Sод+S . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.26) имеет вид:
S + 2*n*S + kz*S = 0;.(2.2)
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
L2+2*n*L + k2! =0,
L 1.2 = -n +- n 2 -k 2 ;
т.к n <k ,=> решение однородного уравнение имеет вид :
S ос =a * e *sin (k 1 *t +в ), где k 1 = k 2 -n 2 ; частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева , получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В
A(k2 - p2 )- 2npB = F0 /mпр решая эту систему получаем следующие выражения
T 20 = R 2 r 2 ( p 2 + T 21 - m 2 S) + J c2 S/ R 2 (R 2 +r 2 ); y3= p2 + T 32
T 23 = R2 2 (p2 + T21 - m2 S) + Jc2 S / R 2 (R 2 +r 2 );
T 43 = T 32 - V c3 /V 3 * (R 2 + r 2 )/ R2 r2 * S
F c = T 32 - (R 2 -r 2 )/ R2 r4 * ( JC3 r 4 / r 2 r 3 + Jc4 /2r 4);
2,6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t
2,7 определение значения времени на следующем шаге t = t + ?t
2.8 Проверка условия окончания цикла t ? tкон
2,9 Возврат к пункту 2,4
Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА ИУРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа
Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера - Лагранжа:
(1)?уAk + ? уA 0k =0;где
? уAk = ?F k у rk- сумма элементарных работ всех активных сил на
возможном перемещении системы;
- сумма элементарных работ всех сил инерции на
(=1*¦=!
возможном перемещении системы.
Рис.3
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис 3). Идеальные связи N4, X3, Y3, Fcu не учитывают и не отображают на расчётной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении равна нулю.
Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:
? уA 0k = Aу+ уAp + уAp1 +уAp2 + уAp4 + уAFупр ;
Вычисляем последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их получаем:
(2) ? уA 0k = - F пр уS , ?- уA 0k = ( - c (R 2 + r 2 ) 2 / 4R22 * S - мS + F(t)) *уS;
Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции
ц1= m1 a =m1 S; ц4= m4 a 4 = m4 S4; M 4 = J c4 *E 4 = J c4 * ц4;
ц2= m2 a 2 = m2 S 2; M 2 = J c2 *E 2 = J c2 * ц2 ;
ц3=0 ; M 3= J c3 *E 3 = J c3 * ц3 ;
Используя кинематические уравнения (1.7) можно записать
уS2 = у S; у ц2 = 1/R 2 у S ; у ц3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * уS;
у ц4 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * уS; уS4 = R 2 + r 2 / 2R 2* уS;
S4 = R 2 + r 2 / 2R 2* S
S2 =S ; ц2 = 1/R2 *S; ц3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * S;
ц3 = R 2 + r 2 / 2R 2 r 3 *S;
Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду :
? уA 0k= -( m1 +m2 + J c21/R 22 + (R 2 + r 2 )2 / R 22 r 3 2 + m4 ( R2+ r 2 )2 / 4R 22
+ J c4(R 2 + r 2 )2 / 4R 22 r 3 2 ) * S у S;
(3) ? уA 0k = - mпр * S у S;
далее подставляя выражение (2) и (3) в (1) т.е в общее уравнение динамики получаем
Поделив это уравнение на уS = 0 получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19 , 3 c -1
n = м / 2 mпр = 6.1 c -1
Полученное нами дифференциальное уравнение полностью совпадает с полученными ранее уравнением
3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Составим теперь уравнение Лагранжа 2-ого рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 - S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:
d/dt * у T/ уS - у T/ у S (3.3)
где Т -- кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; S - обобщенная координата; S - обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:
(3.4) T=1/2m трv3 2
т пр =m +m2 +m3 1/ R2 2 + 1/2m3 (R2 - r 2 ) 2 / R2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22
Производные от кинетической энергии:
(3.5) у T/ уS= 0; у T/ уS = т пр S ; d/dt * у T/ уS= т пр S;
Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение у S (рис.3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см.(2)].
(3.6) ? уA 0k = - F пр уS , ?- уA 0k = ( - c (R 2 + r 2 ) 2 / 4R22 * S - мS + F(t)) *уS;
С другой стороны для системы с одной степенью свободы:
? уA 0k =Q у S ( 3.7)
Сравнивая два последних соотношения, получаем:
Q = - c (R2 + r 2 ) 2 /4R22 *S - м*S + F(t).
Подставляя производные (3.5) и обобщенную силу (3.8) в уравнение Лагранжа(3.3), получаем;
Q = - c (R2 + r 2 ) 2 /4R22 *S - м*S + F0m(pt) ,
S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19 , 3 c -1
n = м / 2 mпр = 6.1 c -1
Анализ результатов
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тнр,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.
Использованная литература
1. Методические указания к курсовой работе по разделу "Динамика", "Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы". Разработали: профессор Нечаев Л.М., доцент Усманов М.А. Тула 1998.
2. Яблонский А.А. "Курс теоретической механики." Том 2 - М.: Высшая школа
1984-424 с.
3. Тарг СМ. "Краткий курс теоретической механики" -- М.: Наука, 1988 -- 482 с.22